道生成空間の圏と単一対象圏上のカノニカル位相・層のトポス

カノニカル位相の定義より、$S$ が被覆篩であることと、$S$ が $\mathcal{B}$ において有効エピ射族であることが同値である。したがって、族 $\{ f_\lambda : I \to I \}_{f_\lambda \in S}$ が有効エピ射族であることと、結合的に全射であることが同値であることを示せばよい。

(1) 有効エピ射族ならば結合的に全射であること:
対偶を示す。もし $\{ f_\lambda \}$ が結合的に全射でないと仮定する。すなわち、ある点 $x_0 \in I$ が存在して、任意の $f_\lambda \in S$ と任意の $t \in I$ に対して $f_\lambda(t) \neq x_0$ となる。このとき、一致条件を満たすが分解を許さないような「テスト用の写像」を構成する。
$I$ は完全正規空間であるため、$x_0$ だけで非ゼロとなる連続関数を容易に構成できる。例えば、2つの異なる連続写像 $g_1, g_2 : I \to I$ を以下のように定める。$g_1(x) = x$ (恒等写像) とし、$g_2(x)$ は $x_0$ の十分小さな近傍以外では $x$ と一致し、$x_0$ においては $g_2(x_0) \neq x_0$ となるような連続写像とする。
すると、任意の $f_\lambda \in S$ の像には $x_0$ が含まれない近傍をとれるため、その像の上では $g_1$ と $g_2$ は完全に一致する。すなわち、任意の $f_\lambda \in S$ について $$g_1 \circ f_\lambda = g_2 \circ f_\lambda$$ が成り立つ。これは $\{f_\lambda\}$ に関する自明な一致条件 (右からの合成が等しい) を満たす。しかし、全体として $g_1 \neq g_2$ であるため、これは有効エピ射族の定義 (一致条件を満たす写像が一意に定まること) に反する。ゆえに、有効エピ射族であれば必ず結合的に全射である。

(2) 結合的に全射ならば有効エピ射族であること:
族 $\{ f_\lambda \}$ が結合的に全射であると仮定する。この族が有効エピ射族であることを示すには、任意の対象(ここでは $I$ のみ)への写像族 $\{ g_\lambda : I \to I \}_{f_\lambda \in S}$ が以下の一致条件を満たすとき、一意な写像 $h : I \to I$ が存在して $h \circ f_\lambda = g_\lambda$ となることを示せばよい。
一致条件: 任意の $f_\alpha, f_\beta \in S$ と任意の $p, q \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(I, I)$ について、$f_\alpha \circ p = f_\beta \circ q$ ならば $g_\alpha \circ p = g_\beta \circ q$ が成り立つ。

写像 $h: I \to I$ を次のように構成する。任意の $x \in I$ について、$\{ f_\lambda \}$ が結合的に全射であるため、ある $f_\alpha \in S$ と $t \in I$ が存在して $f_\alpha(t) = x$ となる。このとき、$h(x) = g_\alpha(t)$ と定義する。
まず、これが well-defined であることを確認する。別の $f_\beta \in S$ と $s \in I$ を用いて $f_\beta(s) = x$ と表されたとする。ここで、$I$ から $I$ への定値写像 (constant map) $c_t, c_s : I \to I$ (それぞれ常に値 $t, s$ をとる写像) を考える。定値写像は連続であるため $\mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(I,I)$ の元である。仮定より $$f_\alpha(c_t(y)) = f_\alpha(t) = x = f_\beta(s) = f_\beta(c_s(y))$$ すなわち、写像として $f_\alpha \circ c_t = f_\beta \circ c_s$ が成り立つ。一致条件より、これに対応する $g$ の合成も等しくなければならない。 $$g_\alpha \circ c_t = g_\beta \circ c_s$$ 任意の $y \in I$ で評価すると $g_\alpha(t) = g_\beta(s)$ となり、$h(x)$ の値は代表元の選び方に依らず well-defined である。

次に $h$ の連続性を示す。$I$ はコンパクト (compact) Hausdorff空間であり、局所コンパクト (locally compact) でもある。位相空間論における一般論として、コンパクトHausdorff空間 $I$ 上の結合的に全射な連続写像の族 $\{f_\lambda\}$ は、直和空間 $\coprod I$ から $I$ への商写像 (quotient map) を定める (より正確には、有限部分被覆をとることで有限個の直和からの商写像となり、これは閉写像であるため商位相と一致する)。$h$ はこの商位相に関して well-defined に定まる写像であるため、連続写像となる。すなわち $h \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(I, I)$ である。
また構成法から明らかに $h \circ f_\lambda = g_\lambda$ を満たし、このような $h$ は $x = f_\lambda(t)$ のすべての点で値が指定されるため一意である。したがって、$\{f_\lambda\}$ は有効エピ射族である。

(1) $R(X)$ が層になることの証明:
前層 $R(X)$ が層条件を満たすことを示す。カノニカル位相 $J_{can}$ における被覆は有効エピ射族によって与えられる。すなわち、圏 $\mathcal{B}$ における有効エピ射族 $\{f_i : I \to I\}$ を任意にとる。
表現可能関手 (representable functor) $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, X) : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Sets}$ は、連続性により余極限 (colimit) を極限 (limit) に変換する。位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ (およびその余反射的部分圏 $\mathcal{C}$) において、有効エピ射族の図式は商写像に対応する余極限図式と一致する。
したがって、$\mathcal{B}$ における有効エピ射族の余極限図式 $I \times_{I} I \rightrightarrows I \to I$ （または複数の添字に関する一般の図式）は、共変表現可能関手によって集合の圏 $\mathbf{Sets}$ における等化子 (equalizer) の図式へと反変に移される。 $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(I, X) \to \prod_i \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(I, X) \rightrightarrows \prod_{i,j} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(I \times_I I, X)$$ この系列が等化子となることは、局所的なデータ（極限）が大域的なデータ（余極限への写像）と一対一対応するという層の公理 (sheaf condition) そのものである。ゆえに $R(X) \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Sh}(\mathcal{B}, J_{can}))$ である。

(2) $R$ が充満忠実であることの証明:
圏論の一般論として、部分圏 $\mathcal{B}$ が圏 $\mathcal{C}$ において稠密 (dense) であることと、制限米田関手 $R: \mathcal{C} \to \mathbf{Sets}^{\mathcal{B}^{\mathrm{op}}}$ が充満忠実であることは同値である。これに則り、自然な写像 $$\Phi_{X,Y}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \xrightarrow{\cong} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Sh}}(R(X), R(Y))$$ が全単射であることを直接計算によって示す。
$\mathcal{C}$ の定義により $\mathcal{B}$ は $\mathcal{C}$ において稠密であるため、任意の $X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ は、コンマ圏 $\mathcal{B} \downarrow X$ 上の図式の余極限として復元される。 $$X \cong \mathop{\mathrm{colim}}_{(I \xrightarrow{\gamma} X) \in \mathcal{B} \downarrow X} I$$ この同型を用いて、左辺の集合 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ を計算する。共変関手 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Y)$ は余極限を極限に変換するため、 $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}\left( \mathop{\mathrm{colim}}_{(I, \gamma)} I, Y \right) \cong \mathop{\mathrm{lim}}_{(I, \gamma)} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(I, Y)$$ が成り立つ。
一方で、右辺の自然変換の集合 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sh}}(R(X), R(Y))$ を考える。米田の補題 (Yoneda lemma) より、前層の圏 (および層の圏) においては、任意の対象 $R(X)$ は表現可能前層の余極限として書ける (共密度定理)。 $$R(X) \cong \mathop{\mathrm{colim}}_{(I, \gamma)} h_I$$ ここで $h_I = R(I)$ である。したがって、自然変換の集合は以下のように計算できる。 $$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sh}}(R(X), R(Y)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{Sh}}\left( \mathop{\mathrm{colim}}_{(I, \gamma)} h_I, R(Y) \right)$$ $$\cong \mathop{\mathrm{lim}}_{(I, \gamma)} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Sh}}(h_I, R(Y))$$ 再び米田の補題より、$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sh}}(h_I, R(Y)) \cong R(Y)(I) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(I, Y)$ が成り立つため、これを代入すると、 $$\mathop{\mathrm{lim}}_{(I, \gamma)} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Sh}}(h_I, R(Y)) \cong \mathop{\mathrm{lim}}_{(I, \gamma)} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(I, Y)$$ となる。以上より、左辺と右辺は全く同じ極限として計算され、両者が同型であることが証明された。ゆえに $R$ は充満忠実である。